中考几何压轴 30 几何与函数 抛物线中倍角模型 三垂直 以及12345模型
这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。
题33. 《倍角点坐标》
已知抛物线G过A(-1.0)、B(4,0)、C(0.2)三点，D是第一象限内抛物线上一点，DE⊥BC于E。如果∠CDE＝2∠ABC，求D点的坐标。
〖一般性提点〗
[1]. 在二次曲线几何综合类题型中，一线三直角是频度较高的辅助线手段。
要问为什么，大概是有直角坐标系的缘故，特别是二次函数与坐标轴有三个交点时（y轴必有一个，x轴交点个数则取决于判别式），这些交点至少构成了两个直角三角形。
[2]. tanα＝1/2，tan2α＝4/3，tanβ＝1/3，tan2β＝3/4。几何证明来自特殊Rt三角形：勾3股4弦必5。
当然，若熟悉正切倍角公式，三角证明简洁而抽象。
这个模型辅助你在特殊条件下，快速计算相关角度的正切值，或者辅助迅速判断题设Rt三角形的形状（三边之比）。
[3]. 求抛物线上点的问题，一般方法是根据题设求出该点所在直线方程（或一次函数），然后与抛物线方程联立求解交点坐标。
[4]. 也有设交点坐标为(m, f(m))，然后根据题设和几何原理，找到m所满足的方程并求解m。这里得到的方程和[3]中消去y后的方程应该是一样的。
重新写下题设，方便阅读。
已知抛物线G过A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点，D是第一象限内抛物线上一点，DE⊥BC于E。如果∠CDE＝2∠ABC，求D点的坐标。
〖题目分析〗
[1]. 抛物线方程
设抛物线V：y＝a(x＋1)(x－4)，又经过C(0,2)：a＝-1/2，得
V：y＝-(1/2)x2＋(3/2)x＋2
计算一下顶点坐标，便于画出题解图：(3/2,25/8)。
[2]. 构造三垂直结构
本题关键在依据题设倍角关系，求出CD所在直线L的方程。若能在L上找到一点G，易求其坐标，则目标就可实现。
为此构造三垂直结构：
过B作BG⊥BC交直线L于G，作GF⊥x轴于F。
角度分析如图所示。易知△BFG∽△COB。
利用相似和倍角关系，可求出G点坐标。
在Rt △COB中，求得BC＝2√5；
tanθ＝1/2；
? tan2θ＝4/3；
? 在Rt △CBG中，BG＝(3/4)BC
得BG＝(3/2)√5；
?
在Rt△BFG中，设BF＝λ，则GF＝2λ，由勾股定理求得λ＝3/2，即
BF＝3/2，GF＝3；
? 由此解得G点坐标G(11/2,3)
[3]. CD所在直线L的方程
斜率k：过C(0,2)和G(11/2,3)
∴ k＝(3－2)/(11/2－0)＝2/11；
L：y＝(2/11)x＋2.
[4]. 求交点D
解联立方程：
V：y＝-(1/2)x2＋(3/2)x＋2
L：y＝(2/11)x＋2
得x＝0（舍），或x＝29/11，
相应的 y＝(2/11)×(29/11)+2
y＝300/121,
D(29/11, 300/121).
............试读结束............
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